7 hằng đẳng thức lớp 8
7 hằng đẳng thức lớp 8 bao gồm:
- Bình phương của một tổng
- Bình phương của một hiệu
- Hiệu của hai bình phương
- Lập phương của một tổng
- Lập phương của một hiệu
- Tổng hai lập phương
- Hiệu hai lập phương.
Đây là những kiến thức cực kỳ hữu ích để học sinh phát triển khả năng giải toán, xây dựng tư duy tích cực. Cũng như tăng cường sự tự tin trong môn toán
7 hằng đẳng thức lớp 8 là một tập hợp gồm bảy công thức toán học quan trọng và thường được áp dụng trong lớp 8.Các công thức này gồm có:
1. Bình phương của một tổng: (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. Bình phương của một hiệu: (a - b)² = a² - 2ab + b².
3. Hiệu hai bình phương: a² - b² = (a + b)(a - b).
4. Lập phương của một tổng: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
5. Lập phương của một hiệu: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
6. Tổng hai lập phương: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
7. Hiệu hai lập phương: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Với những công thức trên, học sinh có thể áp dụng công thức tính toán các bài toán và giải các biểu thức trong chương trình toán lớp 8.
Với hai số bất kỳ , Bình phương của một tổng được tính bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai, rồi cộng với bình phương của số thứ hai. Tức:
(a + b)² = a² + 2ab + b².
Ví dụ: Triển khai các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:
a) ( x + 2 )²
b) ( 2x + 1 )²
Lời giải:
a) ( x + 2 )² = x² + 2.x.2 + 2² = x² + 4x + 4
b) ( 2x + 1 )² = ( 2x )² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1
Với hai số bất kỳ ta luôn có: Bình phương một hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó đem cộng với bình phương số thứ hai. Tức
( a - b )² = a² - 2ab + b²
Công thức tính bình phương của một hiệu
Ví dụ: Khai triển các biểu thức dưới đây theo hằng đẳng thức:
a) ( x - 3)²
b) ( 2x - 1 )²
Hướng dẫn:
a) ( x - 3 )² = x² - 2.x.3 + 3² = x2 - 6x + 9
b) ( 2x - 1 )² = ( 2x )² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1
Với hai số bất kỳ ta luôn có hiệu hai bình phương sẽ bằng tổng của hai số nhân với hiệu của hai số. Tức:
a² - b² = ( a - b ).( a + b )
Ví dụ: Khai triển các biểu thức dưới đây theo hằng đẳng thức:
a) x² - 16 b) x² - 4y²
Lời giải:
a) x² - 16 = x² - 4² = ( x - 4 )( x + 4 )
b) x² - 4y² = x² - ( 2y )² = ( x - 2y )( x + 2y )
Lập phương một tổng của hai số bất kỳ được tính bằng Lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó cộng với lập phương của số thứ hai.
( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: ( x + 2y )³
Lời giải:
( x + 2y )³ = x³ + 3.x².2y + 3.x.( 2y )² + ( 2y )³
= x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³
Lập phương một hiệu của hai số bất kỳ, được tính bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, đem cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó trừ đi lập phương số thứ 2.
( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Lập phương của một hiệu
Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo dạng hằng đẳng thức: ( x - 2y )³
Lời giải:
( x - 2y )³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.( 2y )²- ( 2y )³
= x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³
Tổng của hai lập phương của hai số bất kỳ được tính bằng tổng của hai số sau đó nhân với bình phương thiếu của hiệu số thứ nhất và số thứ hai.
a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b²)
Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: x³ + 8
Lời giải:
x³ + 8 = x³ + 2³ = ( x + 2 )(x² - x.2 + 2² ) = ( x + 2 )( x² - 2x + 4 )
Hiệu của hai lập phương của hai số bất kỳ được tính bằng số thứ nhất trừ đi số thứ hai sau đó đem nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.
a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )
Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo dạng hằng đẳng thức: x³ - 27
Hướng dẫn:
x³- 27 = x³- 3³ = ( x - 3 )(x² + x.3 + 3² ) = ( x - 3 )(x² + 3x + 9 )
Bài tập áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 1. Thực hiện các phép tính:
a) (2x – 1)³
b) (x + 4)³
c) (x – 2)²
d) (2x + 1)²
e) x³ + 64
f) 8x³ – 27
Lời giải:
a) (2x – 1)³
= (2x)³ – 3.(2x)².1 + 3.2x.1² – 1³
= 8x³ -12x² + 6x – 1.
b) (x + 4)³
= x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³
= x³ + 12x² + 48x + 64.
c) (x – 2)²
= x² – 2.x.2 + 2²
= x² – 4x + 4.
d) (2x + 1)²
= (2x)² + 2.2x.1 + 1²
= 4x² + 4x + 1.
e) x³ + 64
= x³ + 4³
= (x + 4)(x² + 4x + 4² )
= (x + 4)(x² + 4x + 16).
f) 8x³ – 27
= (2x)³ – 3³
= (2x – 3)[(2x)² + 2x.3 + 3² ]
= (2x – 3)(4x² + 6x + 9).
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức A, B sau:
a) A = x³+ 6x² + 12x + 8 tại x = 48
b) B = x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 101
Lời giải:
a) A = x³ + 6x² + 12x + 8 tại x = 48
Ta có: A =x³ + 6x² + 12x + 8
= x³ + 3.x².2 + 3.x.2² + 2³
= (x + 2)³
Với x = 48 ta có giá trị của biểu thức A như sau:
A = (48 + 2)³ = 50³ = 125000
b) B = x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 101
Ta có: B = x³ – 3x² + 3x – 1
= x³ – 3. x².1 + 3.x.1² – 1³
= (x – 1)³
Với x = 101 ta có giá trị biểu thức B như sau:
B = (101 – 1)³ = 100³= 1000000.