Công thức cấp số nhân
Trong Toán học, cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một số không đổi gọi là công bội (q).
Định nghĩa
uₙ₊₁=uₙ × q
Cấp Số NhânCông thức cấp số nhân số hạng tổng quát
uₙ=u₁ × qⁿ⁻¹
Trong đó:
u₁: số hạng đầu
q: công bội
n: vị trí số hạng
Ví dụ
u₁=2, q=3
u₄=2 × 3³ =54
Công thức tính tổng n số hạng đầu
Trường hợp q ≠ 1:
Sₙ=u₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q)
Trường hợp q=1:
Sₙ=n × u₁
Ví dụ
u₁=2, q=3, n=4
S₄=2 × (1 − 3⁴) / (1 − 3)
=2 × (1 − 81) / (− 2)
=80
Tổng cấp số nhânNgoài 2 Công thức cấp số nhân cơ bản, khi làm bài về cấp số nhân bạn sẽ thường xuyên dùng thêm các công thức sau:
Liên hệ giữa các số hạng
uₙ=uₖ × qⁿ⁻ᵏ
Áp dụng khi:
Biết một số hạng bất kỳ (uₖ)
Cần tìm số hạng khác
Tính công bội q
q=uₙ₊₁ / uₙ
Áp dụng khi:
Biết 2 số hạng liên tiếp
Tính công bội từ 2 số hạng bất kỳ
q=(uₙ / u₁)¹ ⁄ ⁽ⁿ⁻¹ ⁾
Áp dụng khi:
Biết u₁ và uₙ
Tìm số hạng đầu u₁
u₁=uₙ / qⁿ⁻¹
Tìm số hạng khi biết tổng
Từ công thức:
Sₙ=u₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q)
→ Biến đổi để tìm u₁ hoặc q tùy đề bài
Khi nào dùng nhanh?
- Tìm số hạng → dùng uₙ
- Tìm q → chia 2 số hạng
- Tìm tổng → dùng Sₙ
Thiếu dữ kiện → dùng liên hệ uₙ=uₖ × qⁿ⁻ᵏ
Ví dụ 1 (cơ bản)
Cho cấp số nhân: u₁=3, q=2
Tìm u₅
Giải:
u₅=3 × 2⁴
=3 × 16
=48
Ví dụ 2 (tìm công bội)
Cho: u₃=12, u₄=24
Tìm q
Giải:
q=u₄ / u₃
=24 / 12
=2
Ví dụ 3 (tìm số hạng đầu)
Cho: u₄=54, q=3
Tìm u₁
Giải:
u₁=54 / 3³
=54 / 27
=2
Ví dụ 4 (tính tổng)
Cho: u₁=2, q=3, n=4
Tính S₄
Giải:
S₄=2 × (1 − 3⁴) / (1 − 3)
=2 × (1 − 81) / (− 2)
=80
Ví dụ 5 (trung bình – kết hợp công thức)
Cho: u₁=2, q=2
Tìm u₆ và S₆
Giải:
u₆=2 × 2⁵=64
S₆=2 × (1 − 2⁶) / (1 − 2)
=2 × (1 − 64) / (− 1)
=126
Bài 1 (cơ bản)
Cho cấp số nhân có u₁=2, q=3
Tìm u₆
Giải:
u₆=2 × 3⁵
=2 × 243
=486
Bài 2 (tìm công bội)
Cho u₂=6, u₃=12
Tìm q
Giải:
q=u₃ / u₂
=12 / 6
=2
Bài 3 (tìm số hạng đầu)
Cho u₅=162, q=3
Tìm u₁
Giải:
u₁=162 / 3⁴
=162 / 81
=2
Bài 4 (tính tổng)
Cho u₁=1, q=2, n=5
Tính S₅
Giải:
S₅=1 × (1 − 2⁵) / (1 − 2)
=(1 − 32) / (− 1)
=31
Bài 5 (nâng cao)
Cho cấp số nhân có u₁=3, q=2
Tìm n để uₙ=96
Giải:
uₙ=3 × 2ⁿ⁻¹ =96
⇒ 2ⁿ⁻¹ =32=2⁵
⇒ n − 1=5
⇒ n=6
Nhầm giữa cấp số cộng và cấp số nhân
- Cấp số cộng: cộng thêm
- Cấp số nhân: nhân với q
So sánh cấp số cộng và cấp số nhânQuên mũ n − 1 trong công thức
- Sai: uₙ=u₁ × qⁿ
- Đúng: uₙ=u₁ × qⁿ⁻¹
Sai dấu khi q âm
Nếu q < 0:
Dãy sẽ đổi dấu liên tục
Dễ tính sai nếu không để ý
Nhầm công thức tổng
Sₙ=u₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q)
Nhiều bạn nhầm dấu → dẫn đến sai toàn bộ kết quả
Khi nào dùng cấp số nhân?
Khi các số tăng/giảm theo tỉ lệ nhân (ví dụ: gấp đôi, gấp ba, … )
Công bội q có thể âm không?
Có. Khi q âm, dãy sẽ xen kẽ dấu (+, − ).
Khi nào dùng công thức tổng Sₙ?
Khi cần tính tổng nhiều số hạng liên tiếp trong dãy.
Công thức nào quan trọng nhất?
Hai công thức cần nhớ nhất:
uₙ=u₁ × qⁿ⁻¹
Sₙ=u₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q)
Làm sao để không nhầm công thức?
- Học theo bản chất (nhân lặp lại)
- Luyện nhiều bài tập
- Ghi nhớ theo mẹo
Lời Kết
Nắm vững công thức cấp số nhân không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài toán trong chương trình học mà còn tạo nền tảng tốt cho nhiều dạng toán nâng cao sau này. Chỉ cần hiểu đúng bản chất “ nhân theo tỉ lệ” , bạn sẽ dễ dàng ghi nhớ các công thức như:
- uₙ=u₁ × qⁿ⁻¹
- Sₙ=u₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q)
Thay vì học thuộc máy móc, hãy kết hợp luyện tập với ví dụ và bài tập để hiểu sâu và tránh sai sót khi làm bài. Khi đã quen dạng, bạn sẽ nhận ra cấp số nhân là một trong những phần “ ghi điểm nhanh” trong đề thi.
Nếu bạn đang ôn tập, hãy thử tự làm lại các bài tập phía trên hoặc tạo thêm ví dụ tương tự — đó là cách nhanh nhất để nhớ lâu và áp dụng chính xác.